Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2):

.

2) уравнение для определения функции

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную

Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями

,

общее решение, которого имеет вид

,

где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).

Из условия следует, что , т. к. при .

Из условия имеем

, где .

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений

,

краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).

Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r:

Для этого рассмотрим функции