Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны
где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
|
,
а для функции следующую краевую задачу:
|
Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
|
.
Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:
1.
2.
где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .
,
,
,
.
Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:
(2.2.11)
(2.2.12)
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.
1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид