Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны
2.1 Основные определения
В этой главе использованы следующие обозначения
· - частная производная функции
по
;
· - производная функция одной переменной.
Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных
|
![](images/books/65/image080.png)
В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны
.
В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты
,
. Уравнение границы круга будет при этом
. Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат
и
и времени t:
.
Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид
,
Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
|
![](images/books/65/image091.png)
В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:
Система функций называется ортогональной на интервале
, если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю:
(
). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель
, в таких случаях говорят об ортогональности с весом
[1].
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны
Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением
|
![](images/books/65/image096.png)
|
![](images/books/65/image081.png)