Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

Они удовлетворяют уравнениям

причем , а не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и png">.

Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя

,

получаем выражение для квадрата нормы:

.

Итак, получаем:

1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .

2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12).

3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:

Всякая непрерывная в интервале функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

причем коэффициенты разложения определяются формулой

.

Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции . Составим их линейную комбинацию

.

Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .

Аналогичные условия имеют место для функции .

Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде

Воспользуемся теоремой о разложимости:

всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.

Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам

Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде

Коэффициенты определяются из начальных условий