Понятие устойчивости

откуда

Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z) надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.

Примеры

Вначале попробуем решить рассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоим концам стержня. Точное решение известно.

Fkp = png">

Форма изогнутой оси в этом случае известна

y = CSin

но предположим, что это нам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени

Граничные условия следующие

А) при Z = 0: y=0 (1) ; y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,

Б) при Z = : y = 0 (3) ;y”=0 (4)

Возьмём производные

y’ = 4Az3+3Bz2+2Cz+D;

y” = 12 Az2+6Bz+2C

Из (1) E = 0 ; bp (2) C = 0 Используем (3) ; из (4) следует

12 Aподставляя в (3): A

D=Ay’=A(4z3-6; y”=12A(z2-

Подставим эти выражения в формулу (1)

Как видим, приближённое решение практически не отличается от точного.

2)Рассмотрим более сложную задачу.

Определить критическую силу для стержня , показанного на рисунке.

Аналогично предыдущему случаю, аппроксимируем изогнутую ось полиномом

y = Az4+Bz3 +Cz2 +Dz+E

Запишем граничные условия

1) при z = 0 y = 0 (1)

y’ = 0 (2)

2) при z =3: y” = 0 (свободный конец и момент отсутствует) (4)

Найдем производные

y' = 4Az3+3Bz2+2Cz+D

y” = 12Az2+6Bz+2C;

Используем граничные условия

Из (1) E = 0 ; из (2) D = 0

Из (3) A164+B83+C4=0

42A+2B+C=0 (3а)

Из (4) 12A*92+6B*3+2C=0

542A+9B+C=0 (4а)

Решим совместно (3а) и (4а)

_9B+C=-542A

2B+C=-42A

------------------------

7B=-502A B=;

C=-42-2( )=

Подставим найденные значения коэффициентов полинома в выражения для

y’=2A(2z3-z2+)

y” = 12A(z2-z+.