Понятие устойчивости

Дифференциальное уравнение изогнутой оси выглядит

или (1)

Решение этого дифференциального уравнения хорошо известно

Из граничных условий попробуем найти произвольные постоянные

C1 и С2

при Z=0: png">

при Z=:

Возможны две ситуации

C1=0, откуда y0, т. е. получаем прямолинейную равновесную форму,

Sin K(nN) подставим в (1) выражение R2 =

откуда найдем значение силы, при которой помимо прямолинейной равновесной формы появляется смежная криволинейная равновесная форма

реальный смысл имеет наименьшее значение силы при n=1 эйлерова сила – критическая сила.

Fкр=

Очевидно, что Ix – минимальный момент инерции.

Потери устойчивости будет происходить по синусоиде y = C1Sin

однако произвольную C1 мы так и не смогли найти.

Дело в том, что задача о потере устойчивости задача существенно нелинейно, а мы поступили непоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдя от принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгиба стержня. С другой стороны, приняв приближенное выражение для кривизны, мы линеаризовали задачу. Для того, чтобы определить прогибы в закритической стадии надо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.

Однако главная цель – определение критической силы для стержня нами достигнута.

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Формула (2) даёт возможность определить критическую силу только в том случае шарнирного опирания обоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие часто встречающиеся случаи закрепления.

а). Стержень, закреплённый жёстко одним концом и свободный от закрепления на другом. Очевидно изгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертого стержня, но имеющего длину в 2 раза большую.

Критическая сила в этом случае будет равна критической силе шарнирно опёртого стержня, имеющего длину 2.

Введём понятие коэффициента привидения длины - , т. е. числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опёртого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной при заданном закреплении.

Очевидно, что в нашем случае коэффициент можно трактовать , как число показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длине полуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.

Обобщим формулу Эйлера

(3)

Для некоторых других случаев закрепления коэффициент приведения длины равен:

Рис. 102

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применила, в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид.