Понятие устойчивости

Введём понятие критического напряжения, т. е. напряжения соответствующего критической силе.

; (4)

но где - минимальный радиус инерции сечения.

Введём ещё одну величину – гибкость стержня.

png">, тогда

Тогда можно оказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при сжатии.

Выясним при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера .

Приравняем в (4)

=

Если , то можно использовать формулу (3)

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов: МПа, E = 2*105 МПа тогда,

т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.

Коэффициент запаса на устойчивость

Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе, действующей на него.

Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, некоторая заданная нормативная величина, тогда ,где Fadm – нагрузка допускаемая из условия устойчивости.

Пример.

Для заданного сжатого стержня определить допускаемую силу

= 50 см; материал Ст. 3

E = 2 105 МПа; = 210 МПа

ny= 2

Ix = Imin = 4 см2 ; A = 2*6 = 12 см2;

= 2*50 = 100 см;

Fkp =

МПа; kpМПаМПаpr

формула Эйлера применима

Fadm = кН

Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений

Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций и задача требует специального рассмотрения. Существует решения (Т. Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского.

, где a и b-константы зависящие от свойств материала.

Изложим методику расчёта на устойчивость, предложенную русским инженером Ясинского в конце прошлого века. Суть этой методики состоит в том, что расчёт на устойчивость подменяется расчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивость полагается равным

- допускаемое напряжение при сжатии;

- коэффициент снижения допускаемых напряжений. Он может трактоваться, как следующее отношение.