Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Для решения задания необходимо усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

sэк в = Мэк в/ Wz £[s]

Мэк в - так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III - гипотеза прочности)

Мэк в III = (Ми2 + Тк2) 1/2

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)

Мэк в V = (Ми2 + 0.75 Тк2) 1/2

В обеих формулах Т - наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми - наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz и My).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

Мэк в III = (Мz2 + My2 + Тк2) 1/2 или

Мэк в V = (Мz2 + My2 + 0.75 Тк2) 1/2

8. Приняв sэк в = [s] определить требуемый осевой момент сопротивления

Wz = М эк в/[s]

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

Wи = p*dв3/32 » 0.1* dв3

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d ³ (32* М эк в / p*[s]) 1/3 » (М эк / 0.1 [s]) 1/3

Пример:

Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III -гипотезу прочности

б) Используя, V - гипотезу прочности

Принять [s] =160МПа, Fr1 = 0.4 F1, Fr2 = 0.4 F2

Составляем расчетную схему вала: Т1=Т5, где Т1 и Т2 - скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1 и F2 на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т1 = Т2 = Р/w = 0,5*103 Нм = 0,5 кНм

Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F1 = 2*T1/d1 = 2*0.5*103/0.1 = 104 H = 10kH

F2 = 2*T2/d2 = 2*0.5*103/0.25 = 4*103 H = 4kH

Fr1 = 0.4*103 = 4 kH Fr2 = 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

åMa = - Fr1 AC - Fr2 AD + RBY*AB = 0

RBY = Fr1 AC + Fr2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

åMB = - RAY*AB + Fr1*BC + Fr2*DB = 0

RAY = Fr1*BC + Fr2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

åY = RAY - Fr1 - Fr2 + RBY = 2-4-1.6+3.6 = 0

åY = 0, следовательно RAY и RBY найдены правильно

Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

åMA = F1 AC - F2 AD - RBz*AB = 0

RBz = F1 AC - F2 AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz противоположно выбранному (см. рис. б)

åMB = RAz*AB - F1*CB + F2*DB = 0

RAz = F1*CB - F2*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

åZ = RAz - F1 + F2 - RBz = 7.66-10+4-1.66 = 0

åZ = 0, следовательно реакции RAz и RBz найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).