Относительное движение материальной точки

Страница 1

Рис.1 Схема механической системы и действующие на шарик силы

Свяжем подвижную систему координат Оxy с вращающейся пластиной как показано на рисунке.

Вращение пластины вместе с системой координат Oxy вокруг оси является переносным движением для шарика. Относительным движением шарика является его движение вдоль трубки, расположенной вдоль пластины.

Дифференциальное уравнение относительного движения для рассматриваемого случая равномерного вращения пластины имеет вид

, (1.1.1)

где m – масса материальной точки;

- ускорение точки в подвижной системе отсчета;

- внешние силы: ,

- реакции связей: -нормальная реакция стенки трубки;

и - переносная и кориолисова силы инерции.

Вращение пластины происходит равномерно, следовательно =0, значит -.

Силы инерции и направлены противоположно переносному центростремительному и кориолисову ускорению , соответственно. Направление ускорения определим по правилу Жуковского: необходимо спроектировать относительную скорость шарика в плоскость вращения, а затем повернуть вектор этой скорости на 900 по направлению вращения, и получим направление ускорения Кориолиса.

Предположим, что относительная скорость шарика положительна. В этом случае кориолисова сила инерции направлена параллельно оси Оy подвижной системы координат.

Модули сил инерции определяются по формулам:

=

=.

Найдем зависимость he от х:

В итоге уравнение (1.1.1) примет вид:

Спроектируем векторное уравнение относительного движения шарика на оси подвижной системы координат Оxy:

(1.1.2)

. Выберем φ0=0 → φ=;

Рассмотрим проекцию на ось Ох. Разделим обе части уравнения на массу тела:

, где (1.1.3)

Общее решение полученного линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами будем искать виде

x=X+,

Страницы: 1 2