Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
|

является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а
png">. Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.
В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
|

где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
|

Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде
.
Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины :
на
.
|

.
Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной
в выражение
возьмем корень
характеристического уравнения (1.3.4), то
, т.е.
будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
,
где - произвольные постоянные, а
- решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
|