Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
|
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а png">. Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.
В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
|
где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
|
Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .
Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .
|
.
Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
,
где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
|