Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Материалы о физике / Собственные колебания пластин / Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Страница 1

При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение

(1.3.1)

является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.

В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Покажем, что выражение

(1.3.2)

,

где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.

Продифференцируем по x выражение (1.3.2):

.

Подставляем полученные выражения в (1.3.1):

(1.3.3)

.

Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .

Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .

(1.3.4)

Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно

.

Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).

Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).

Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет

,

где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].

(1.3.5)

Страницы: 1 2