Метод разделения переменных или метод Фурье
Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.
Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t>0 уравнению
|
в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида (где
непрерывны в
,
непрерывны в
). Подставляя функцию
в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на
, получаем
.
Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех
) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе
.
|
,
|
![](images/books/65/image041.png)
причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях
. Те значения
, при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения
уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.
Суть метода Фурье:
1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции
получаем краевую задачу;
2) решаем краевую задачу для функции . Пусть
суть собственные функции этой задачи, а
- отвечающие им собственные значения;