Метод разделения переменных или метод Фурье

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t>0 уравнению

в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида (где непрерывны в , непрерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем

.

Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе

.

,

причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье:

1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу;

2) решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения;