Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена

г) узлы, расположенные на оси полусферы

д) узлы, расположенные на оси конической и цилиндрической частей оправки

При аппроксимации дифференциальных уравнений (2.39) и (2.40) конечно-разностными аналогами (3.3) и (3.4) учитывается, что в силу симметрии и . В вышеприведенных формулах (3.1) - (3.4) принимаются следующие обозначения:

;

;

;

;

,

где - шаг по координате .

На поверхности оправки граничные условия II рода при нагреве (2.28) и охлаждении (2.31) аппроксимируются по трем приграничным узлам с учетом поглощения (выделения) теплоты в приграничном узле толщиной :

,

где - плотность теплового потока, поступающего на оправку при прошивке или уходящего с нее при охлаждении. Из последнего уравнения получается формула для определения температуры поверхности оправки в узлах :

.

Граничное условие (2.58) на торцевой границе стержня также аппроксимируется по значениям температуры в трех приграничных узлах сетки

,

откуда получается

.

При расчете температуры в "центральной" точке сферы и усеченного конуса возникают трудности, связанные с тем, что эта точка принадлежит одновременно центру полусферы и оси плоскости сопряжения полусфера - цилиндр. Температура в этой "центральной" точке определяется по балансу тепловой энергии в объеме, прилегающем к этой точке (рис.3.2):

,

где - удельная объемная теплоемкость; - объем тела вращения ABDSA; - тепловой поток, поступающий в выделенный объем.