Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена
Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.36) с соответствующими начальными и граничными условиями применяется метод конечных разностей. Конечно-разностная сетка изображена на рис.3.1 Каждый узел сетки нумеруется в виде , где
- номер узла по направлению
для полусферы и цилиндра, a
png"> - номер узла по направлению
для полусферы и по направлению
для цилиндра. Нумерация узлов начинается от центра сферы и оси цилиндра. Коническая поверхность оправки заменена ступенчатой, кратной шагу
. Дискретные моменты времени обычно нумеруются индексами:
- предыдущий, а
- последующий моменты времени. Номер предыдущей и последующей итерации обозначается верхними индексами
и
соответственно.
Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности (2.37) - (2.40) применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая методом Гаусса-Зейделя. Суть этого метода заключается в том, что при расчете температуры в узле
на
-й итерации используются температуры
и
из предыдущей итерации и вновь вычисленные температуры
и
на расчетной
-й итерации. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое.
Рис.3.1 Конечно-разностная сетка, применяемая в численном методе конечных разностей при решении задачи теплопроводности оправки.
Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения теплопроводности для всех характерных участков оправки записываются так:
а) внутренние узлы сферы :
б) внутренние узлы конической и цилиндрической частей оправки :
в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам и
аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу
в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по
в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы
. На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так: