Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности

4. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой [конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода

Тs(τ) = [Тс(τ)]s (3.14)

Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла

-λc(∂Tc/∂n)s = -λ(∂T/∂n)s (3.15)

Дадим графическую интерпретацию четырех видов граничных условий (рис. 3.1).

Скалярная величина вектора теплового потока пропорциональна абсолютной величине градиента температуры, который численно равен тангенсу угла наклона касательной к кривой распределения температуры вдоль нормали к изотермической поверхности, т.е

(∂T/∂n)s = tg φs

На рис. 3.1 изображены на поверхности тела четыре элемента поверхности ∆S с нормалью к ней n (нормаль считается положительной, если она направлена наружу). По оси ординат отложена температура.

Рис. 3.1 Различные способы задания условий на поверхности

Граничное условие первого рода состоит в том, что задана Тs (τ); в простейшем случае Тs (τ) = const. Отыскивается наклон касательной к температурной кривой у поверхности тела, а тем самым и количество тепла, отдаваемое поверхностью (см. рис. 3.1., а).

Задачи с граничными условиями второго рода имеют обратный характер; задается тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела (см. рис. 3.1, б); находится температура поверхности тела.

В задачах с граничными условиями третьего рода температура поверхности тела и тангенс угла наклона касательной к температурной кривой—величины переменные, но задается на внешней нормали точка С, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой (см. рис. 3.1, в). Из граничного условия (3.13) следует

tg φs = (∂T/∂n)s = (Тs(τ) - Тс)/(λ∕α) (3.16)

Тангенс угла наклона касательной к температурной кривой у поверхности тела равен отношению противолежащего катета [Тs(τ)—Тc]

к прилежащему катету λ∕α соответствующего прямоугольного треугольника. Прилежащий катет λ∕α является величиной постоянной, а противолежащий катет [Тs (τ) — Тс] непрерывно изменяется в процессе теплообмена прямо пропорционально tg φs. Отсюда следует, что направляющая точка С остается неизменной.

В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в теле и в среде на границах их раздела (см. рис. 3.1, г):

tg φs /tg φc = λc∕λ = const (3.17)

с учетом совершенного теплового контакта (касательные у поверхности раздела проходят через одну и ту же точку).

Выбирая для расчета тип того или иного простейшего граничного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твердого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной средой. Можно приближенно считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного теплообмена заведомо велика, и адиабатической – если эта интенсивность заведомо мала.