Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности
Граничные условия третьего рода могут быть использованы и при рассмотрении нагревания или охлаждения тел лучеиспусканием. По закону Стефана-Больцмана лучистый поток тепла между двумя поверхностями равен
qs(τ) = σ*[T4s(τ) –T4a], (3.7)
где σ* — приведенный коэффициент лучеиспускания, Тa — абсолютная температура поверхности тепловоспринимающего тела.
Коэффициент пропорциональности σ* зависит от состояния поверхности тела. Для абсолютно черного тела, т. е. тела, обладающего способностью поглощать все падающее на него излучение, σ* = 5,67·10-12 вт/см2·°К4. Для серых тел σ* = ε·σ, где ε - коэффициент черноты, изменяющийся в пределах от 0 до 1. Для полированных металлических поверхностей коэффициенты черноты составляют при нормальной температуре от 0,2 до 0,4, а для окисленных и шероховатых поверхностей железа и стали — от 0,6 до 0,95. С повышением температуры коэффициенты ε увеличиваются и при высоких температурах, близких к температуре плавления, достигают значений от 0,9 до 0,95.
При малой разности температур (Тп - Та) соотношение (3.7) можно приближенно написать так:
qs(τ) = σ*{[T2s(τ) +T2a]·[Ts(τ) +Ta]}·[ Ts(τ) –Ta] = α(T)· [ Ts(τ) –Ta] (3.8)
где α (Т) — коэффициент лучистого теплообмена, имеющий ту же размерность, что и коэффициент конвективного теплообмена, и равный
α (Т)= σ*[T2s(τ) +T2a]·[Ts(τ) +Ta]= σ*·ν(T) (3.9)
Соотношение (3.9) является выражением закона Ньютона охлаждения или нагревания тела, при этом Tа обозначает температуру поверхности тела, воспринимающего тепло. Если температура Тs(τ) изменяется незначительно, то коэффициент α (Т) приближенно можно принять постоянным.
Если температура окружающей среды (воздуха) Тс и температура тепловоспринимающего тела Та одинаковы, а коэффициент лучепоглощения среды очень мал, то в соотношении (3.9) вместо Та можно написать Тс. При этом небольшая доля потока тепла, отдаваемого телом путем конвекции, может быть положена равной αк·∆Т, где ак — коэффициент конвективного теплообмена.
Коэффициент конвективной теплоотдачи αк зависит:
1) от формы и размеров поверхности, отдающей тепло (шар, цилиндр, пластина) и от ее положения в пространстве (вертикального, горизонтального, наклонного);
2) от физических свойств теплоотдающей поверхности;
3) от свойств окружающей среды (ее плотности, теплопроводности и вязкости, в свою очередь зависящих от температуры), а также
4) от разности температур Тs - Тс.
В этом случае в соотношении
qs = α·[Тs(τ) - Тс], (3.10)
коэффициент α будет суммарным коэффициентом теплообмена:
α = αк+ α(Т) (3.11)
В дальнейшем нестационарный теплообмен тела, механизм которого описывается соотношением (3.10), будем называть теплообменом по закону Ньютона.
По закону сохранения энергии количество тепла qs(τ), отданного поверхностью тела, равно количеству тепла, которое подводится изнутри к поверхности тела в единицу времени к единице площади поверхности путем теплопроводности, т. е.
qs(τ) = α·[Тs(τ) - Тс(τ)] = -λ(∂T/∂n)s (3.12)
где для общности постановки задачи температура Тс считается переменной, а коэффициент теплообмена α(Т) приближенно принят постоянным [α(Т) = α= const].
Обычно граничное условие пишут так:
λ(∂T/∂n)s + α·[Тs(τ) - Тс(τ)] = 0 (3.13)
Из граничного условия третьего рода, как частный случай, можно получить граничное условие первого рода. Если отношение α/λ стремится к бесконечности [коэффициент теплообмена имеет большое значение (α→∞) или коэффициент теплопроводности мал (λ→ 0)], то
Тs(τ) - Тс(τ) = lim [1/(α∕λ)·(∂T/∂n)s] = 0
α∕λ→∞
откуда
Тs(τ) = Тс(τ)
т. е. температура поверхности теплоотдающего тела равна температуре окружающей среды.
Аналогично при α→0 из (x) получаем частный случай граничного условия второго рода — адиабатическое условие (равенство нулю потока тепла через поверхность тела). Адиабатическое условие представляет другой предельный случай условия теплообмена на границе, когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном коэффициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность приближается к нулю. Поверхность металлического изделия, соприкасающегося со спокойным воздухом, при недолгом процессе может приниматься адиабатической, так как действительный поток теплообмена через поверхность незначителен. При длительном процессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла значительное количество тепла, и пренебрегать им уже нельзя.