Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей

Материалы о физике / Основы сопротивления материалов / Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 2. 6) относительно координатных осей ,:

; ; (2.18)

Повернем оси , на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Рис. 2.6

Найдем теперь моменты инерции сечения относительно повернутых осей ,:

; ; (2.19)

Координаты произвольной элементарной площадки в новой системе выражаются через координаты , прежней системы следующим образом:

(2.20)

(2.21)

Подставив эти выражения в (2.19) окончательно получим:

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Складывая почленно формулы (2.22),(2.23), находим

(2.25)

При повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.