Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x=0 отклонение

;

на свободном конце x=l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

png">.

Если конец x=0 движется по определенному закону , а при x=l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x=l

или ,

при котором конец x=l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x=0 имеет вид

.

Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x=0:

§ граничные условия 1-го рода - заданный режим,

§ граничное условие 2-го рода - заданная сила,

§ граничное условие 3-го рода - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x=l. Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].