Операторный метод анализа переходных колебаний в электрических цепях

,

то его изображение имеет вид:

.

При нулевых начальных условиях (ННУ) и , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор png"> (при ННУ).

Преобразование операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:

,

то его изображение имеет вид: , т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор .

Теорема запаздывания (оригинала). Если , то , где — время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель .

Теорема смещения (изображения). Если , то , т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель соответствует смещение его изображения на величину .

Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.

Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.

Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для -изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома.

Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:

Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:

,

и следовательно, алгебраическая сумма -изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:

.

При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).

Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.

Элемент резистивного сопротивления.

– операторное резистивное сопротивление,

– резистивная операторная проводимость.

Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.

Элемент индуктивности.

– операторное индуктивное сопротивление,

– операторная индуктивная проводимость.