Обратная задача в плоском напряженном состоянии.
При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения ,
,
,
(рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.
Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >
, а
>
.
В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку
, с координатами
,
и точку
с координатами
,
(рис. 3.6, б). Соединив точки
и
, находим центр круга – точку
- и радиусом
проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью
- отрезки
и
- дадут соответственно величины главных напряжений
и
.
Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки линию параллельно линии действия напряжения
, т. е. горизонталь. Точка
пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс
с точками
и
, получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.
Рис. 3.6
Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений и
:
(3.9)
(3.10)
Формула (3.10) определяет единственное значение угла , на который нужно повернуть нормаль
, чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению
соответствует поворот по часовой стрелке.
Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать и
. Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать
и
.