Анализ нелинейных цепей с двухполюсными элементами

Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа записываются уравнения вида:

,

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа записываются уравнения вида:

,

где n – число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи появятся уравнения вида png">. Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как в случае линейных резистивных цепей.

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 1.3. Пусть ВАХ нелинейного элемента определена выражением:

.

Рис. 1.3.

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур и один независимый узел. Уравнения, записанные по законам Кирхгофа, имеют следующий вид:

К этим уравнениям дописываем уравнение . Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение и токи и . Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 1.4. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями

для НЭ1 и для элемента НЭ2.

Рис. 1.4.

Приняв узел 2 за базисный, имеем три независимых узла, но уравнения будем составлять для 1 и 4 узлов. Узловое напряжение известно . Токи ветвей выражаются через узловые напряжения и следующим образом:

Составим уравнения для узлов 1 и 4 по первому закону Кирхгофа:

Подставив в эти уравнения значения токов, получим:

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными узловыми напряжениями.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона-Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.