Плоское напряженное состояние
При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся несколько подробнее.
Рассмотрим элемент, грани которого являются главными площадками.
Рис. 3.3
По ним действуют положительные напряжения
png"> и
, а третье главное напряжение
(направление
перпендикулярно к плоскости чертежа).
Проведем сечение I – I, которое определит площадку (), характеризуемую положительным углом
. Напряжения
и
по этой площадке будут определяться по формулам:
(3.2)
(3.3)
Сжимающие главные напряжения подставляют в эти формулы со знаком «минус», а угол отсчитывают от алгебраически большего главного напряжения.
Проведем сечение II – II, которое определит площадку , перпендикулярную площадке
. Нормаль
к ней образует с направлением
угол
.
Подставив в формулы (3.2) и (3.3) значения угла , будем иметь
; (3.4)
. (3.5)
Совокупность формул (3.2) - (3.5) дает возможность находить напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклонным площадкам, если известны главные напряжения.
Складывая равенства (3.2) и (3.4), обнаруживаем, что
, (3.6)
т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от угла наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.
Из формул (3.3) и (3.5) видим, что касательные напряжения достигают наибольшей величины при , т. е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом
, причем
. (3.7)
Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим, что
(3.8)
Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.
Проведем теперь еще два сечения (рис. 3.3): Сечение ІІІ – ІІІ, параллельное І – І, и сечение ІV – ІV, параллельное ІІ – ІІ. Элемент , выделенный четырьмя сечениями из элемента
(рис. 3.4, а), будет иметь вид, показанный на рис 3.4, б. Оба элемента определяют одно и то же напряженное состояние, но элемент
представляет его главными напряжениями, а элемент
- напряжениями на наклонных площадках.
Рис. 3.4
В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи.
Прямая задача. В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом к главным.